无限直积代数（特别是李代数）上的同态

我们研究交换环 $k$ 上非必然结合代数 $\prod_I A_i$ 到 $B$ 的满同态 $f:\prod_I A_i\to B$，其中 $I$ 通常是无限集；特别地，当 $k$ 是一个域且 $B$ 在 $k$ 上是可数维时。我们的结果在 $k$ 是无限域、代数是李代数且 $B$ 是有限维时有如下推论：如果所有李代数 $A_i$ 都是可解的，那么 $B$ 也是可解的。如果所有李代数 $A_i$ 都是幂零的，那么 $B$ 也是幂零的。如果 $k$ 的特征不是 2 或 3，且所有李代数 $A_i$ 都是有限维的并且是单代数的直积，那么 (i) $B$ 也是如此，(ii) $f$ 可分裂，并且 (iii) 在 $I$ 的一个弱基数界下，$f$ 在 pro-离散拓扑中是连续的。用于得到 (i)-(iii) 的一个关键事实是，在任何这样的域上，每个有限维单李代数 $L$ 都可以写成 $L=[x_1,L]+[x_2,L]$，其中 $x_1, x_2\in L$，这是我们从 J.M.Bois 最近的一个结果证明的。本文的一般技术涉及研究 $\prod_I A_i$ 上的同态必须通过有限多个 $A_i$ 的超积的直积进行分解的条件。给出了几个例子，并指出了未解决的问题。