Poincaré--Birkhoff--Witt 同构与 Kapranov dg-流形

我们证明，对于同一底流形 $M$ 上的李代数胚的每一个包含关系 $A\hookrightarrow L$，都对应一个 $A[1]\oplus L/A$ 上的 Kapranov dg-流形结构，该结构在同构意义下是规范的。作为推论，$\Gamma(\Lambda^\bullet A^\vee\otimes L/A)$ 携带一个规范的 $L_\infty[1]$ 代数结构，其一元括号是对应于 $A$ 在 $L/A$ 上的 Bott 表示的 Chevalley--Eilenberg 微分，其二元括号是李对 $(L,A)$ 的 Atiyah 类的上循环代表元。为此，我们构造了 $C^\infty(M)$-余代数的显式同构 $\Gamma\big(S(L/A)\big)\xrightarrow{\sim}\frac{\mathcal{U}(L)}{\mathcal{U}(L)\Gamma(A)}$，我们将其称为 Poincaré--Birkhoff--Witt 映射。这些映射具有允许显式计算的递归刻画。它们推广了李理论中的经典对称化映射 $S(\mathfrak{g})\to\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ 以及微分算子的完全符号映射（的逆）。最后，我们证明 Kapranov dg-流形 $A[1]\oplus L/A$ 是可线性化的，当且仅当李对 $(L,A)$ 的 Atiyah 类为零。