与李对相关的拉回 dg 李代数胚的 Atiyah 类与 Todd 类

对于一个李代数胚 $L$ 及其李子代数胚 $A$，即一个李对 $(L,A)$，我们研究沿移位向量丛 $A[1]$ 的丛投影 $\pi:A[1] \to M$ 的 $L$ 的拉回 dg（即微分分次）李代数胚 $\pi^! L$ 的 Atiyah 类与 Todd 类。应用同调扰动引理，我们给出了 Stiénon--Vitagliano--Xu 收缩的新构造，该收缩将 $\pi^! L$ 的截面余链复形 $\big(\Gamma(\pi^! L),\mathit{Q}\big)$ 与 Bott 表示的 Chevalley--Eilenberg 复形 $(\Gamma(\Lambda^\bullet A^\vee\otimes(L/A)),d^{\mathrm{Bott}})$ 相联系。利用此收缩，我们构造了两个同构：第一个将余链复形 $(\Gamma((\pi^! L)^\vee\otimes\mathrm{End}(\pi^! L)),\mathit{Q})$ 的上同调与由 Bott 表示产生的 Chevalley--Eilenberg 上同调 $H^\bullet_{\mathrm{CE}}(A,(L/A)^\vee\otimes\mathrm{End}(L/A))$ 等同，第二个将上同调 $H^\bullet(\Gamma(\Lambda(\pi^! L)^\vee),\mathit{Q})$ 与 $H^\bullet_{\mathrm{CE}}(A,\Lambda(L/A)^\vee)$ 等同。我们证明这一对同构分别将 dg 李代数胚 $\pi^! L$ 的 Atiyah 类与 Todd 类等同于李对 $(L,A)$ 的 Atiyah 类与 Todd 类。