从 Atiyah 类到同伦 Leibniz 代数

Kapranov 的一个著名定理指出，复流形 $X$ 的切丛的 Atiyah 类使 $T_X[-1]$ 成为 $D^+(X)$（即 $X$ 上凝聚层的有界下方导出范畴）中的 Lie 代数对象。此外，Kapranov 证明了对于 K"ahler 流形 $X$，$T_X[-1]$ 的 Dolbeault 分解 $\Omega^{\bullet-1}(T_X^{1,0})$ 是一个 $L_\infty$ 代数。在本文中，我们证明 Kapranov 定理对于 Lie 对上的向量丛在更广泛的情形下成立。给定一个 Lie 对 $(L,A)$，即一个 Lie 代数胚 $L$ 及其 Lie 子代数胚 $A$，我们将 $A$-模 $E$（相对于 $L$）的 Atiyah 类 $\alpha_E$ 定义为 $E$ 上存在 $A$ 相容 $L$-联络的障碍。我们证明 Atiyah 类 $\alpha_{L/A}$ 和 $\alpha_E$ 分别使 $L/A[-1]$ 和 $E[-1]$ 成为有界下方导出范畴 $D^+(\mathcal{A})$ 中的 Lie 代数和 Lie 代数模，其中 $\mathcal{A}$ 是左 $\mathcal{U}(A)$-模的 Abel 范畴，$\mathcal{U}(A)$ 是 $A$ 的泛包络代数。此外，我们构造了源于 $L/A$ 和 $E$ 的 Atiyah 类的同伦 Leibniz 代数和同伦 Leibniz 模，并在 $D^+(\mathcal{A})$ 中诱导出上述 Lie 结构。