dg 流形、形式指数映射与同伦李代数

本文致力于研究 $C^\infty$ 背景下与 dg 流形相关的“形式指数映射”、Atiyah 类以及 Kapranov $L_\infty[1]$ 代数之间的关系。给定 dg 流形，我们证明“形式指数映射”存在当且仅当 Atiyah 类消失。受 Kapranov 为复流形的全纯切丛构造同伦李代数的启发，我们证明 dg 流形上的向量场空间容许一个 $L_\infty[1]$ 代数结构，该结构在同构意义下唯一，其一元括号是关于同调向量场的 Lie 导数，其二元括号是 Atiyah 类的一个 1-闭上链代表元，其高阶多重括号可由递归公式算出。对于由复流形 $X$ 产生的 dg 流形 $(T_X^{0,1}[1],\bar{\partial})$，我们证明该 $L_\infty[1]$ 代数结构与 Dolbeault 复形 $\Omega^{0,\bullet}(T^{1,0}_X)$ 上的标准 $L_\infty[1]$ 代数结构拟同构。