李代数上的 dg Loday-Pirashvili 模

李代数 $\mathfrak{g}$ 上的 Loday-Pirashvili 模是线性映射范畴中的一个李代数对象 $\bigl(G\xrightarrow{X} \mathfrak{g} \bigr)$，或等价地，是一个容许 $\mathfrak{g}$-等变线性映射 $X:G\to \mathfrak{g}$ 的 $\mathfrak{g}$-模 $G$。我们研究李代数上的 dg Loday-Pirashvili 模，它是 Loday-Pirashvili 模的一种自然推广，并建立了 dg Loday-Pirashvili 模的几种等价刻画。为给出简洁刻画，一个 dg Loday-Pirashvili 模是一个非负且有界 dg $\mathfrak{g}$-模 $V$ 配上弱 dg $\mathfrak{g}$-模态射 $\alpha\colon V\rightsquigarrow \mathfrak{g}$。这样的 dg Loday-Pirashvili 模以如下意义消解任意指定的经典 Loday-Pirashvili 模：它存在且唯一（直至同伦）。Dg Loday-Pirashvili 模可通过 dg 导子来刻画。这一视角允许计算相应的扭曲 Atiyah 类。借助由 dg Loday-Pirashvili 模 $(V,\alpha)$ 产生的 dg 导子上的 Kapranov 函子，可在 $\wedge^\bullet \mathfrak{g}^\vee\otimes V[1]$ 上导出一个 Leibniz$_\infty[1]$ 代数结构。该结构的二元括号对应于扭曲 Atiyah 上循环。为通过具体情形例示这些复杂代数结构，我们将此工具用于一类源自李代数对的特殊 dg Loday-Pirashvili 模。