伴随判别式的对数导数

我们展示了射影对偶性与沿射影空间中既约除子 $D$ 的对数向量丛之间的关系，即点 - 超平面重合空间中法丛的理想层的推前，经重言丰沛线丛扭曲后，同构于沿 $D$ 的对数微分。随后，我们聚焦于特征为零的代数闭域 $\mathbf{k}$ 上具有李代数 $\mathfrak{g}$ 的单李群的伴随判别式 $D$，并研究 $\mathbf{U}=\mathbf{k}[\mathfrak{g}]$ 上的对数模 Der$_{\mathbf{U}}(-\log(D))$。当 $\mathfrak{g}$ 为单连同时，我们证明该模有两个直和项：$G$-不变部分，其为由 $G$ 的指数次数的生成元生成的自由模；以及 $G$-变异部分，其射影维数为一，由 $G$ 的基本不变量的 Jacobian 矩阵呈现，并同构于由李括号给出的映射 $\mathbf{ad} : \mathfrak{g} \otimes \mathbf{U}(-1) \to \mathfrak{g} \otimes \mathbf{U}$ 的像。当 $\mathfrak{g}$ 非单连同时，我们根据 $G$ 的指数和 $G$ 的准极小表示，给出了 Der$_{\mathbf{U}}(-\log(D))$ 的长度为一的等变分级自由解消。