非负整数阶仿射李代数张量范畴及其结合性同构

对于一个有限维单李代数 $\mathfrak{g}$，我们利用 Huang 和 Lepowsky 的顶点张量范畴理论，将固定阶 $\ell\in\mathbb{N}$ 的仿射李代数 $\hat{\mathfrak{g}}$ 的标准模范畴等同于某个有限维 $\mathfrak{g}$-模的张量范畴。更确切地说，阶 $\ell$ 标准 $\hat{\mathfrak{g}}$-模的范畴是简单顶点算子代数 $L_{\hat{\mathfrak{g}}}(\ell,0)$ 的模范畴，并且众所周知，该范畴作为阿贝尔范畴等价于 $\mathbf{D}(\mathfrak{g},\ell)$，即 Zhu 代数 $A(L_{\hat{\mathfrak{g}}}(\ell,0))$ 的有限维模范畴，而 Zhu 代数是 $U(\mathfrak{g})$ 的一个商。我们的主要结果是利用 Knizhnik-Zamolodchikov 方程直接构造 $\mathbf{D}(\mathfrak{g},\ell)$ 中的结合性同构，这些同构由 Huang 和 Lepowsky 在 $L_{hat{\mathfrak{g}}}(\ell,0)-\mathbf{mod}$ 中构造的结合性同构所诱导。该构造表明 $\mathbf{D}(\mathfrak{g},\ell)$ 与 Kazhdan 和 Lusztig 用于把无理阶和大多数负有理阶的 $\hat{\mathfrak{g}}$-模范畴等同于量子群模范畴时所使用的 $U(\mathfrak{g})[[@\hbar]]$-模的 Drinfeld 范畴密切相关。