仿射 $\mathfrak{gl}(1|1)$ 的 Kazhdan-Lusztig 范畴上的张量结构

我们证明了仿射李超代数 $\widehat{\mathfrak{gl}(1|1)}$ 的 level-$k$ 有限长度、具有最高权合成因子的模的 Kazhdan-Lusztig 范畴 $KL_k$ 具有顶点代数辫张量超范畴结构，且其具有半单 Cartan 子代数作用的对象的全子范畴 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 是一个张量子范畴。我们证明了 $KL_k$ 中每个单 $\widehat{\mathfrak{gl}(1|1)}$-模在 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 中都有投射覆盖，并确定了 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 中涉及单对象与投射对象的所有融合规则。随后利用 Knizhnik-Zamolodchikov 方程，我们证明了 $KL_k$ 与 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 是刚性的。作为 $\mathcal{O}_k^{fin}$ 上张量超范畴结构的应用，我们研究了仿射李超代数 $\widehat{\mathfrak{sl}(2|1)}$ 在水平 $1$ 与 $-\frac{1}{2}$ 处的某些模范畴。特别地，我们获得了水平 $-\frac{1}{2}$ 处 $\widehat{\mathfrak{sl}(2|1)}$-模的一个张量范畴，其包含松弛最高权模及其在谱流下的像。