边界可接受水平下仿射顶点算子超代数 $L_{\hat{sl(2|1)}}(\mathcal{k},0)$

设 $L_{\widehat{sl(2|1)}}(\mathcal{k},0)$ 为仿射 Lie 超代数 $\widehat{sl(2|1)}$ 的简单仿射顶点算子超代数，其可接受水平为 $\mathcal{k}$。我们推测 $L_{\widehat{sl(2|1)}}(\mathcal{k},0)$ 在边界可接受水平 $\mathcal{k}$ 下在范畴 $\mathcal{O}$ 中是有理的，且存在有限多个不可约弱 $L_{\widehat{sl(2|1)}}(\mathcal{k},0)$-模，其中不可约模恰为 $\widehat{sl(2|1)}$ 的可接受模。本文首先在边界可接受水平 $-\frac{1}{2}$ 下证明此猜想。随后我们给出一个例子表明在边界水平之外，$L_{\widehat{sl(2|1)}}(\mathcal{k},0)$ 在范畴 $\mathcal{O}$ 中非有理。进一步，我们考虑与 $\xi$ 参数相关的 Virasoro 元素 $\omega_\xi$ 关联的 $\mathbb{Q}$-分度顶点算子超代数 $(L_{\widehat{sl(2|1)}}(\mathcal{k},0),\omega_\xi)$，其中 $0<\xi<1$ 为有理数。我们确定 $(L_{\widehat{sl(2|1)}}(-\frac{1}{2},0),\omega_\xi)$ 的 Zhu 代数 $A_{\omega_\xi}(L_{\widehat{sl(2|1)}}(-\frac{1}{2},0))$，并证明其有理且 $C_2$-cofinite。最后，我们考察非边界可接受水平 $\frac{1}{2}$ 的情况以支持我们的猜想，即证明存在无限多个不可约弱 $L_{\widehat{sl(2|1)}}(\frac{1}{2},0)$-模在范畴 $\mathcal{O}$ 中，且 $(L_{\widehat{sl(2|1)}}(\frac{1}{2},0),\omega_\xi)$ 非有理。