奇异量子子群与仿射李代数 VOA 的扩张——第一部分

典型的有理顶点算子代数（vertex operator algebra, VOA）与正整数水平 k 的仿射李代数相关联。它们在物理上对应于 Wess-Zumino-Witten 理论，其表示论可由根上的量子群刻画。人们希望识别那些以这些 VOA 为手性半的完全（体）共形场论。在数学上，这些对应于它们的模范畴。迄今为止，这仅对 sl(2)（著名的 Cappelli-Itzykson-Zuber 的 A-D-E 分类）与 sl(3) 完成。该问题归结为了解这些 VOA 的可能扩张，以及这些扩张之间的张量等价。近期进展使张量等价得到良好控制，尤其对 sl(n)。本文聚焦于扩张。我们证明，对任意单李代数 g，存在一界 K(g) 按 rank$(g)^3$ 增长，使得对任意水平 k>K(g)，唯一的扩张是一般的（即简单流扩张）。我们利用该界找到了 g=sl(4) 与 sl(5) 在所有水平下的全部扩张，以及 g=sl(n) 在水平 $k\le 5$ 下的全部扩张（此前仅 k=1 的情形被分类）。在本文续篇中，我们将找到秩 <7 的所有单李代数 g 的全部扩张（及相应的低水平分类）。