q-差分算子代数、仿射顶点代数及其模

本文探讨了$q$-差分算子代数$\widetilde{V}_{q}$、仿射李代数以及与李代数$\mathfrak{gl}_{\infty}$的某个子代数$\mathcal{A}$相关的仿射顶点代数之间的典范联系。我们还引入并研究了$\widetilde{V}_{q}$-模的一个$\mathcal{O}$范畴。更确切地说,我们得到了$\widetilde{V}_{q}$作为仿射李代数$\widehat{\mathcal{A}^{*}}$的协变代数的实现,其中$\mathcal{A}^{*}$是$\mathcal{A}$的一维中心扩张。我们证明,水平为$\ell_{12}$的限制$\widetilde{V_{q}}$-模对应于顶点代数$V_{\widetilde{\mathcal{A}}}(\ell_{12},0)$的$\mathbb{Z}$-等变$\phi$-协调拟模,其中$\widetilde{\mathcal{A}}$是$\mathcal{A}$的广义仿射李代数。最后,我们表明$\mathcal{O}$范畴中的对象都是限制$\widetilde{V_{q}}$-模,并对该范畴中的单模进行了分类。