可容许能级上 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 的权模的张量范畴

在可容许能级 $k$ 处 $\mathfrak{sl}_2$ 的简单仿射顶点代数的权模范畴 $L_k(\mathfrak{sl}_2)\text{-wtmod}$ 既非有限也非半单，且模通常无下界并具有无限维共形权子空间。然而该顶点代数与 $W_\ell(\mathfrak{sl}_{2|1})$（$\mathfrak{sl}_{2|1}$ 在能级 $\ell$ 处的简单主 $W$-代数，即 $N=2$ 超共形代数）具有对偶性，其中能级通过 $(k+2)(\ell+1)=1$ 相关联。 $W_\ell(\mathfrak{sl}_{2|1})$ 的每个权模都有下界且具有有限维共形权空间。主要技术结果是 $W_\ell(\mathfrak{sl}_{2|1})$ 的每个权模都是 $C_1$-余有限的。由此得出顶点张量范畴的存在性，且顶点超代数扩张理论意味着对任意可容许能级 $k$ 在 $L_k(\mathfrak{sl}_2)\text{-wtmod}$ 上存在顶点张量范畴结构。作为应用，我们计算了普通模与任意权模的融合规则，并表明 $L_k(\mathfrak{sl}_2)\text{-wtmod}$ 是 ribbon 范畴当且仅当 $L_{k+1}(\mathfrak{sl}_2)\text{-wtmod}$ 是，特别地可得对于可容许能级 $k = - 2 + \frac{u}{v}$ 且 $v \in \{2, 3\}$ 以及 $u = -1 \mod v$，范畴 $L_k(\mathfrak{sl}_2)\text{-wtmod}$ 是一个 ribbon 范畴。