仿射顶点算子超代数的模范畴与 $C_2$-余有限性

本文中，我们研究 $C_2$-余有限顶点算子超代数的权一子空间的李代数结构。我们还证明了对于任意正整数 $k$，顶点算子超代数 $L_{sl(1|n+1)}(k,0)$ 与 $L_{osp(2|2n)}(k,0)$ 具有无穷多个不可约可容模。作为推论，我们证明了如下事实：$L_{\mathfrak g}(k,0)$ 是 $C_2$-余有限的当且仅当 $\mathfrak g$ 是单李代数，或 $\mathfrak g=osp(1|2n)$，且 $k$ 为非负整数。作为一个应用，我们表明 $L_{G(3)}(1,0)$ 是一个顶点算子超代数，其 $L_{G(3)}(1,0)$-模范畴是半单的，但 $L_{G(3)}(1,0)$ 不是 $C_2$-余有限的。