单态顶点代数全表示范畴上的带状张量结构

我们证明了单态顶点代数 $\mathcal{M}(p)$（$p\in\mathbb{Z}_{>1}$）的有限长度广义模范畴等于 $C_1$-余有限 $\mathcal{M}(p)$-模范畴 $\mathcal{O}_{\mathcal{M}(p)}$，并且该范畴容许 Huang-Lepowsky-Zhang 的顶点代数辫子张量范畴结构。由于 $\mathcal{O}_{\mathcal{M}(p)}$ 包含不可数多个典型 $\mathcal{M}(p)$-模（即 Heisenberg Fock 模上的单 $\mathcal{M}(p)$-模结构），我们的结果大幅扩展了我们先前关于非典型 $\mathcal{M}(p)$-模张量范畴的工作。我们还引入了一个由代数环面 $T$ 分次的张量子范畴 $\mathcal{O}_{\mathcal{M}(p)}^T$，它具有足够的投射对象，并猜想其张量等价于 $2p$ 次单位根处 $\mathfrak{sl}_2$ 的展开限制量子群的有限维权模范畴。我们计算了所有涉及单和投射 $\mathcal{M}(p)$-模的张量积，并证明了张量范畴 $\mathcal{O}_{\mathcal{M}(p)}$ 和 $\mathcal{O}_{\mathcal{M}(p)}^T$ 都是刚性的，从而也是带状的。作为一个应用，我们利用顶点算子代数扩张理论证明了 triplet 顶点代数 $\mathcal{W}(p)$ 的所有有限循环轨道折叠的表示范畴是非半单模张量范畴，并确认了 Adamovi\'{c}-Lin-Milas 关于这些有限循环轨道折叠的单模分类的猜想。