$\mathfrak{osp}_{1|2n}$ 顶点代数的常模

我们证明仿射顶点超代数 $V^k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$ 在一般水平 $k$ 处嵌入到 $\mathfrak{sp}_{2n}$ 的等变 $\mathcal W$-代数与 $4n$ 个自由费米子的张量积中。这有两个推论：(1) 它为一般 $k$ 下陪集 $\text{Com}(V^k(\mathfrak{sp}_{2n}), V^k(\mathfrak{osp}_{1|2n}))$ 同构于 $\mathcal W^\ell(\mathfrak{sp}_{2n})$（其中 $\ell = -(n+1) + \frac{k+n+1}{2k+2n+1}$）提供了新的证明；(2) 我们得到了常 $V^k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$-模到 $V^k(\mathfrak{sp}_{2n}) \otimes \mathcal W^\ell(\mathfrak{sp}_{2n})$-模的分解。接下来，若 $k$ 为 $\mathfrak{osp}_{1|2n}$ 的可容许水平且 $\ell$ 为 $\mathfrak{sp}_{2n}$ 的非退化可容许水平，我们证明单代数 $L_k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$ 是单子代数 $L_k(\mathfrak{sp}_{2n}) \otimes {\mathcal W}_{\ell}(\mathfrak{sp}_{2n})$ 的扩张。利用顶点超代数扩张理论，我们证明常 $L_k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$-模的范畴是一个半单、刚性的顶点张量超范畴，仅含有限多个互不等价的单对象。它等价于 $\mathcal W_\ell(\mathfrak{sp}_{2n})$-模的某个子范畴。类似结果对 Ramond 扭曲模的范畴也成立。由于 Robert McRae 近期的一个定理，我们作为推论得到常 $L_k(\mathfrak{sp}_{2n})$-模的范畴是刚性的。