从顶点张量范畴与Jacobi形式研究$L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2)\right)$的表示论

本文旨在通过一组有趣的例子，展示如何结合顶点代数扩张理论与模形式来研究顶点算子超代数的表示论。设$L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2)\right)$为$\mathfrak{osp}(1|2)$在可容许水平$k$处的简单仿射顶点算子超代数。我们利用Jacobi形式分解发现，这是$L_k(\mathfrak{sl}_2)\otimes \text{Vir}(p, (p+p')/2)$的一个顶点算子超代数扩张，其中$k+3/2=p/(2p')$，且$\text{Vir}(u, v)$表示中心荷为$c=1-6(u-v)^2/(uv)$的正规Virasoro顶点算子代数。特别地，对于正整数$k$，我们得到一个正规顶点算子超代数，并对该情形进行了进一步研究。顶点代数扩张理论与顶点算子子代数的模数据的相互作用，使我们能够对所有简单局部（非扭曲）和Ramond扭曲$L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2)\right)$-模进行分类，并获得它们的超融合规则。后者还通过顶点算子超代数的Verlinde公式以第二种方式得到。最后，再次利用顶点代数扩张理论，我们找到了仿费米子陪集$C_k = \text{Com}\left(V_L, L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2)\right)\right)$的所有简单模及其融合规则，其中$V_L$是格$L=\sqrt{2k}\mathbb{Z}$的格顶点算子代数。