关于 $L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$ 的 Kazhdan-Lusztig 对应

秩大于一的非可积仿射顶点代数上光滑权模范畴的交换与幺半群结构是一个有趣、困难且本质上尚未解决的问题。甚至连猜想都十分缺乏。本文通过对数 Kazhdan-Lusztig 对应，详细阐述并检验了关于 $L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$ 的此类猜想。我们首先研究 $\overline{U}^H_i(\mathfrak{sl}_3)$（即 $\mathfrak{sl}_3$ 在四次单位根处的展开限制量子群）的表示理论。特别地，我们分析其有限维权模范畴，确定所有投射不可分解模的 Loewy 图并分解所有不可约模的张量积。我们的动机在于，该范畴被猜想为与 $W_{A_2}^0(2)$-模范畴是辫张量等价的。这里，$W_{A_2}^0(2)$ 是 Semikhatov 的八重顶点代数 $W_{A_2}(2)$ 的轨道折叠，后者是著名的三重代数在自然 $\mathfrak{sl}_3$ 类比意义上的对应物。此外，$W_{A_2}^0(2)$ 是仿射顶点代数 $L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$ 的副费米子余集。我们提出一个显式猜想，将 $W_{A_2}^0(2)$ 与 $\overline{U}^H_i(\mathfrak{sl}_3)$ 的表示理论联系起来，并推导出相应 $L_{-\frac{3}{2}}(\mathfrak{sl}_3)$-模的结构。特别地，我们得到了后者投射不可分解模的猜想 Loewy 图及其不可约模融合积的分解。这些乘积与近期通过 Verlinde 公式计算的结果一致。最后，我们给出了 $W_{A_2}(2)$ 的类似结果。