对数 Kazhdan-Lusztig 对应的代数理论

设 $\mathcal{U}$ 为一个辫子张量范畴，通常是未知的、复杂的，并且特别地是非半单的。我们在 $\mathcal{U}$ 中存在具有某些性质的交换代数 $A$ 的假设下刻画 $\mathcal{U}$：设 $\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{U}$ 中局部 $A$-模范畴，$\mathcal{B}$ 为 $\mathcal{U}$ 中 $A$-模范畴，在我们的设定中它们通常是比 $\mathcal{U}$ 简单得多的范畴。然后我们可以将 $\mathcal{U}$ 刻画为相对 Drinfeld 中心 $\mathcal{Z}_\mathcal{C}(\mathcal{B})$，并将 $\mathcal{B}$ 刻画为 $\mathcal{C}$ 内某个 Hopf 代数的表示。特别地，这允许我们将辫子张量等价归约为阿贝尔等价的知识，例如，如果我们已经知道 $\mathcal{U}$ 阿贝尔等价于某个量子群 $U_q$ 或其某种推广的模范畴，并且如果 $\mathcal{C}$ 辫子等价于一个分次向量空间范畴，并且如果 $A$ 具有某种形式，那么我们便已经得到了 $\mathcal{U}$ 与 $\mathrm{Rep}(U_q)$ 之间的一个辫子张量等价。我们理论的一个主要应用是证明对数 Kazhdan-Lusztig 对应，即顶点代数表示与量子群的辫子张量范畴之间的等价。在这里，代数 $A$ 和相应的范畴 $\mathcal{C}$ 先验地由顶点代数的自由场实现和 Nichols 代数给出。我们在那些顶点代数表示理论已被充分理解的例子中对此进行了说明。特别地，我们证明了单顶点代数 $\mathcal{M}(p)$ 与 $\mathfrak{sl}_2$ 在 $2p$ 次单位根处的展开小量子群之间猜测的对应。另一个新例子是 $\mathfrak{gl}_{1|1}$ 的 Kazhdan-Lusztig 对应。