Nichols 代数、张量范畴与 Kazhdan-Lusztig 对应

一个非常普遍的图景正在浮现，它猜想性地描述了当我们过渡到一组筛选算子的核 $\mathcal{W}$ 时，顶点代数 $\mathcal{V}$ 的表示论会发生什么。即，筛选算子在 $\mathrm{Rep}(\mathcal{V})$ 内部生成一个 Nichols 代数 $H$，并且在许多情况下，$\mathrm{Rep}(\mathcal{W})$ 与 $\mathrm{Rep}(H)$ 的相对 Drinfeld 中心重合。这极大地推广了作为 Cartan 部分上 Nichols 代数的 Drinfeld 双模的量子群的构造。在这个例子中，猜想的范畴等价作为对数 Kazhdan-Lusztig 对应已被研究了大约 20 年。本综述是我在该领域工作的教授资格论文的一部分。我希望将其作为一篇导引性文章，面向具有纯代数背景和物理学背景的读者。我以独特的范畴论视角，温和且非正式地激发并解释了所涉及的不同主题（量子群、Nichols 代数、顶点代数、辫子张量范畴），直至能够阐述我的一般期望。然后，我解释了一些先前的结果，并说明了我近期在 $\mathcal{V}$ 是自由场论且在分析方面有技术假设的情形下，证明该猜想范畴等价的主要技术。