顶点（算子）代数的泛函分析理论，I

本文是发展顶点（算子）代数及其表示的泛函分析理论系列论文的第一篇。对任意满足标准分次限制公理的 Z-分次有限生成顶点代数 $(V, Y, 1)$，构造了 $V$ 的一个局部凸拓扑完备化 $H$。由顶点（算子）代数的几何解释，存在一个从 $V$ 与 $V$ 的张量积到 $V$ 的代数完备化的标准线性映射，线性地实现零亏格 Riemann 面的共形等价类，该面由从单位圆盘删除两个有序不交圆盘并给边界分支以显然的参数化而得到，具有解析参数化边界。我们将这样一个线性映射扩张为从 $H$ 与 $H$ 的完备张量积到 $H$ 的线性映射，并证明该扩张的连续性。对任意满足标准分次限制公理的有限生成 C-分次 $V$-模 $(W, Y_W)$，同样的方法也给出 $W$ 的拓扑完备化 $H^W$，并给出从 $H$ 与 $H^W$ 的完备张量积到 $H^W$ 的线性映射的连续扩张，这些线性映射来自 $V$ 与 $W$ 的张量积到 $W$ 的代数完备化的映射，线性地实现上述具有解析参数化边界的零亏格 Riemann 面的共形等价类。