分级限制顶点代数的上同调理论

我们引入了分级限制顶点代数的上同调理论。为了构造正确的上同调，我们考虑从分级限制顶点代数的张量幂到“取值于该代数模的代数完备化中的有理函数”的线性映射，而不是从该代数的张量幂到该代数模的线性映射。由这类函数引起的一个微妙复杂之处在于，当我们将这些线性映射与顶点算子复合时，必须仔细处理收敛性问题。特别地，对于每个 $n\in \mathbb{N}$，我们有一个 $n$ 次上同调的反向系统 $\{H^{n}_{m}(V, W)\}_{m\in \mathbb{Z}_{+}}$，以及一个额外的、以 $V$-模 $W$ 为系数的分级限制顶点代数 $V$ 的 $n$ 次上同调 $H_{\infty}^{n}(V, W)$，使得 $H_{\infty}^{n}(V, W)$ 同构于反向系统 $\{H^{n}_{m}(V, W)\}_{m\in \mathbb{Z}_{+}}$ 的逆向极限。在 $n=2$ 的情况下，存在一个额外的二次上同调，记为 $H^{2}_{\frac{1}{2}}(V, W)$，将在本论文的后续部分中证明，它对应于我们所谓的 $V$ 的平方零扩张，并且当 $W=V$ 时对应于 $V$ 的一阶形变。