分次限制顶点代数的第一与第二上同调

设 $V$ 是一个分次限制顶点代数，$W$ 是一个 $V$-模。我们证明，对任意 $m\in \mathbb{Z}_{+}$，由作者引入的系数在 $W$ 中的 $V$ 的第一上同调 $H^{1}_{m}(V, W)$ 与从 $V$ 到 $W$ 的导子空间线性同构。特别地，对于 $m\in \mathbb{N}$，$H^{1}_{m}(V, W)$ 是相等的（因此可用同一记号 $H^{1}(V, W)$ 表示）。我们还证明，由作者引入的系数在 $W$ 中的 $V$ 的第二上同调 $H^{2}_{\frac{1}{2}}(V, W)$ 与 $V$ 被 $W$ 的平方零扩张的等价类集合一一对应。在 $W=V$ 的情形下，我们证明第二上同调 $H^{2}_{\frac{1}{2}}(V, V)$ 与 $V$ 的一阶形变的等价类集合一一对应。