余有限性条件、投射盖与对数张量积理论

当顶点算子代数 $V$ 满足以下条件时，我们在分次受限广义 $V$-模范畴中构造了不可约 $V$-模的投射盖：1. $V$ 在 Li 的意义下是 $C_{1}$-余有限的。2. 存在一个正整数 $N$，使得不可约 $V$-模的最低共形权实部之差以 $N$ 为界，且结合代数 $A_{N}(V)$ 是有限维的。这一结果表明，分次受限广义 $V$-模范畴是 $\mathbb{C}$ 上的有限阿贝尔范畴。利用投射盖的存在性，我们证明了如果此类顶点算子代数 $V$ 还满足条件 3，即不可约 $V$-模在作者的意义下是 $R$-分次且 $C_{1}$-余有限的，那么对于 $z \in \mathbb{C}^{\times}$，分次受限广义 $V$-模范畴在 $P(z)$-张量积运算下是封闭的。我们还证明了应用由 Lepowsky、Zhang 和作者开发的对数张量积理论的其他条件也成立。因此，对于此类 $V$，该范畴具有辫张量范畴的自然结构。特别地，当 $V$ 具有正能量且为 $C_{2}$-余有限时，条件 1--3 均得到满足，从而所有结论均成立。