强同伦 Lie 对的 Atiyah 类

本文的主题是强同伦（SH）Lie 代数，也称为 $L_\infty$-代数。我们提取了一个内蕴特征，即 Atiyah 类，它衡量了当（SH）Lie 代数 $A$ 扩张到 $L$ 时的非平凡性。事实上，给定这样一个 SH Lie 对 $(L, A)$ 以及任意 $A$-模 $E$，存在一个典范上同调类，即 Atiyah 类 $[\alpha^E]$，它推广了先前已知的从 Lie 代数对导出的 Atiyah 类。我们证明，Atiyah 类 $[\alpha^{L/A}]$ 在 $\operatorname{H}^\bullet_{\mathrm{CE}}(A,L/A[-2])$ 上诱导出一个分次 Lie 代数结构，而任意 $A$-模 $E$ 的 Atiyah 类 $[\alpha^E]$ 在 $\operatorname{H}^\bullet_{\mathrm{CE}}(A,E)$ 上诱导出一个 Lie 代数模结构。此外，Atiyah 类在 $L$ 的规范等价的 $A$-相容无穷小形变下是不变的。