Lyndon词定义的代数与Artin-Schelter正则性

设 $X= \{x_1, x_2, \cdots, x_n\}$ 为有限字母表，$K$ 为域。我们研究由 $X$ 生成且具有固定障碍集 $W$ 的分次 $K$-代数 $A = K\langle X\rangle / I$ 的类 $\mathfrak{C}(X, W)$。最初我们不限制 $W$，并研究 $\mathfrak{C} (X, W)$ 中所有代数具有多项式增长和有限整体维数 $d$ 的情形。接着我们考虑障碍集 $W$ 为Lyndon词反链的代数类 $\mathfrak{C} (X, W)$。核心问题是“类 $\mathfrak{C} (X, W)$ 何时包含Artin-Schelter正则代数？”每个类 $\mathfrak{C} (X, W)$ 定义一个Lyndon对 $(N,W)$，该对唯一确定每个 $A \in \mathfrak{C}(X, W)$ 的整体维数 $gl\dim A$ 和Gelfand-Kirillov维数 $GK\dim A$。我们找到了一个关于 $(N,W)$ 的组合条件，使得类 $\mathfrak{C}(X, W)$ 包含李代数 $\mathfrak{g}$ 的包络代数 $U\mathfrak{g}$。我们引入了由Lyndon词定义的单项式李代数，并证明了由Lyndon-Lie单项式生成的李理想的Groebner-Shirshov基的结果。最后，我们分类了所有作为标准单项式李代数的包络 $U = U\mathfrak{g}$ 出现的、整体维数为 $6$ 和 $7$ 的二生成元Artin-Schelter正则代数。该分类通过它们的Lyndon对 $(N, W)$ 进行，每个对还确定了 $U$ 的显式关系。