构建 $W$ 代数的基本单元

类型为 $W(2,3,4,\dots)$ 的普适二维参数顶点代数 $W_{\infty}$ 在轻微假设下作为类型为 $W(2,3,\dots,N)$ 顶点代数的分类对象，意味着所有此类顶点代数都可作为 $W_{\infty}$ 的商。存在一个 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 维的 $1$ 参数顶点代数族，这些代数经过与 Heisenberg 代数张量积后称为 $Y$ 代数。它们由 Gaiotto 和 Rap\v{c}\'ak 引入，预期是类型 $A$ 中所有 $W$ 代数的基本单元，即每一种类型 $A$ 的 $W$（超）代数都是若干个 $Y$ 代数张量积的一个扩张。类似地，正交-对称 $Y$ 代数是普适二维参数顶点代数 $W^{\text{ev}}_{\infty}$（类型为 $W(2,4,6,\dots)$）的 $1$ 参数商，这一代数是类型为 $W(2,4,\dots, 2N)$ 顶点代数的分类对象。与类型 $A$ 不同，这些代数并非类型 $B$、$C$ 和 $D$ 中所有 $W$ 代数的基本单元。在本文中，我们构造了一个新的类型为 $W(1^3, 2, 3^3, 4, 5^3,6,\dots)$ 的普适二维参数顶点代数，记为 $W^{\mathfrak{sp}}_{\infty}$，因为它包含仿射顶点代数 $V^k(\mathfrak{sp}_2)$ 的一个副本。我们识别了 $8$ 个 $W^{\mathfrak{sp}}_{\infty}$ 的 $1$ 参数商的无限序列，这些是 $Y$ 代数的类比。我们将 $W^{\mathfrak{sp}}_{\infty}$ 视为与 $W_{\infty}$ 和 $W^{\text{ev}}_{\infty}$ 位于同一水平上的基本对象，我们给出了一些启发性的原因，说明我们期望这三套对象的 $1$ 参数商将是所有经典类型的 $W$ 代数的基本单元。最后，我们证明 $W^{\mathfrak{sp}}_{\infty}$ 有许多强性理性的商，这产生了新的强性理性 $W$ 超代数实例。