正交辛 $\mathcal{W}$-代数的三元对偶

$\mathcal{W}$-代数的三元对偶是三个不同 $\mathcal{W}$-(超)代数的仿射陪集之间的同构,最初由 Gaiotto 和 Rapčák 在物理学文献中猜想。在本文中,我们证明了 $B$、$C$ 和 $D$ 型八族 $\mathcal{W}$-(超)代数之间的三元对偶。关键思想是将这些代数的仿射陪集与最近由 Kanade 和第二作者构造的普适双参数偶自旋 $\mathcal{W}_{\infty}$-代数的单参数商等同。我们的结果是 $B$、$C$ 和 $D$ 型中 Feigin-Frenkel 对偶以及 Arakawa 与我们给出的 $D$ 型主 $\mathcal{W}$-代数的陪集实现的极大推广。它还提供了 $B$ 和 $C$ 型主 $\mathcal{W}$-代数的新陪集实现。作为一个应用,我们证明了仿射顶点超代数 $L_k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$、极小 $\mathcal{W}$-代数 $\mathcal{W}_{k-1/2}(\mathfrak{sp}_{2n+2}, f_{\text{min}})$ 以及陪集 $\text{Com}(L_k(\mathfrak{sp}_{2m}), L_k(\mathfrak{sp}_{2n}))$ 对所有满足 $m<n$ 的整数 $k,n,m \geq 1$ 的有理性。我们还证明了 $\mathfrak{osp}_{1|2n}$ 和 $\mathfrak{osp}_{2|2n}$ 的一些主 $\mathcal{W}$-超代数族以及 $\mathfrak{so}_{2n+1}$ 的次正则 $\mathcal{W}$-代数的有理性。