普适双参数$\mathcal{W}_{\infty}$-代数与$\mathcal{W}(2,3,\dots, N)$型顶点代数

我们证明了物理学中长期存在的猜想：存在一个唯一的双参数$\mathcal{W}_{\infty}$-代数，它是$\mathcal{W}(2,3,\dots)$型自由生成的，且由权重为$2$和$3$的场生成。在满足某些温和约束的条件下，所有对某个$N$的$\mathcal{W}(2,3,\dots, N)$型顶点代数均可作为该普适代数的商获得。作为一个应用，我们证明对于$n\geq 3$，主$\mathcal{W}$-代数$\mathcal{W}^k(\mathfrak{s}\mathfrak{l}_n, f_{\text{prin}})$的结构常数是$k$和$n$的有理函数，并对$n\geq 2$时单商$\mathcal{W}^k(\mathfrak{s}\mathfrak{l}_n, f_{\text{prin}})$之间的所有重合进行了分类。我们还得到了$\mathcal{W}^k(\mathfrak{s}\mathfrak{l}_n, f_{\text{prin}})$与作为仿射顶点代数或非主$\mathcal{W}$-代数的陪集出现的其他$\mathcal{W}(2,3,\dots, N)$型顶点代数之间的许多新重合。