$\mathcal{W}$-代数的三元对偶性

我们证明了 Gaiotto 与 Rapčák 的猜想：当参数 $L,M,N$ 之一为零时，$Y$-代数 $Y_{L,M,N}[\psi]$ 是普适双参数 $\mathcal{W}_{1+\infty}$-代数的简单单参数商，并满足称为三元对偶性（triality）的对称性。这些 $Y$-代数定义为某些非主 $\mathcal{W}$-代数与 $\mathcal{W}$-超代数对其仿射顶点子代数的陪集，而三元对偶性是三个此类代数之间的同构。我们结果的特例为文献中许多关于 A 型 $\mathcal{W}$-代数的定理与开放猜想提供了新的统一证明。这包括（1）Feigin-Frenkel 对偶，（2）Arakawa 与我们给出的主 $\mathcal{W}$-代数的陪集实现，（3）Feigin 与 Semikhatov 关于亚正则 $\mathcal{W}$-代数、主 $\mathcal{W}$-超代数与仿射顶点超代数之间三元对偶性的猜想，（4）Arakawa 与 van Ekeren 关于亚正则 $\mathcal{W}$-代数有理性的结果，（5）超过 25 年前物理文献中猜想的亚正则 $\mathcal{W}$-代数的 Heisenberg 陪集与主有理 $\mathcal{W}$-代数的等同。最后，我们证明了 Procházka 与 Rapčák 关于实现简单 $Y$-代数作为 $\mathcal{W}_{1+\infty}$-商的显式截断曲线及其极小强生成类型的猜想。