极小 $\mathcal{W}$-代数的轨道折叠与陪集

设 $\mathfrak{g}$ 为一个简单的有限维李（超）代数，配备一个 $\mathfrak{s} \mathfrak{l}_2$ 的嵌入，该嵌入在 $\mathfrak{g}$ 上诱导极小分次。Kac 和 Wakimoto 引入的相应极小 $\mathcal{W}$-代数 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, e_{-\theta})$ 在权 $1,2,3/2$ 具有强生成元，且所有算子乘积展开均显式已知。权一子空间生成一个仿射顶点（超）代数 $V^{k'}(\mathfrak{g}^{\natural})$，其中 $\mathfrak{g}^{\natural} \subset \mathfrak{g}$ 表示 $\mathfrak{s} \mathfrak{l}_2$ 的中心化子。因此 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, e_{-\theta})$ 有一个连通李群 $G^{\natural}_0$ 的作用，其李代数为 $\mathfrak{g}^{\natural}_0$，这里 $\mathfrak{g}^{\natural}_0$ 表示 $\mathfrak{g}^{\natural}$ 的偶部分。我们证明，对于任意约化子群 $G \subset G^{\natural}_0$ 以及任意约化李代数 $\mathfrak{g}' \subset \mathfrak{g}^{\natural}$，轨道折叠 $\mathcal{O}^k = \mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, e_{-\theta})^{G}$ 与陪集 $\mathcal{C}^k = \text{Com}(V(\mathfrak{g}'),\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, e_{-\theta}))$ 在 $k$ 的通用值处是强有限生成的。此处 $V(\mathfrak{g}')$ 表示对应于 $\mathfrak{g}'$ 的仿射顶点代数。当 $\mathfrak{g}' = \mathfrak{g}^{\natural}$ 且 $\mathfrak{g}$ 为 $\mathfrak{s} \mathfrak{l}_n$、$\mathfrak{s}\mathfrak{p}_{2n}$、$n\neq 2$ 时的 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2|n)$、$\mathfrak{p}\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2|2)$ 或 $\mathfrak{o}\mathfrak{s}\mathfrak{p}(1|4)$ 时，我们找到了 $\mathcal{C}^k$ 的显式极小强生成集。最后，我们猜想在作为 $\mathcal{C}^k$ 的简单商的一族陪集 $\mathcal{C}_k$ 之间存在某些令人惊讶的重合，并证明了猜想的若干情形。