关于自由李代数的支撑集：Schützenberger问题

M.-P. Schützenberger 提出了确定有限字母表 $A$ 上模 $m$ 整数环 ${\mathbb Z}_{m}$ 上的自由李代数 ${\mathcal L}_{{\mathbb Z}_{m}}(A)$ 的支撑集以及所有相应的孪生词和反孪生词对（即在每个李多项式中出现系数相等或相反的词）的问题。我们利用 ${\mathcal L}_{{\mathbb Z}_{m}}(A)$ 的左范数李括号 $l$ 的伴随自同态 $l^{*}$ 来研究这些问题。通过给定长度固定词 $w$ 的所有因子以及混洗积计算 $l^{*}(w)$，我们以一种更自然的方式恢复了 Duchamp 和 Thibon (1989) 关于自由李环支撑集的结果。我们将这些问题（对于长度为 $n$ 的词）重新表述为 ${\mathcal L}_{{\mathbb Z}_{m}}(A)$ 的左范数多重线性李括号 $l_{n}$（视为对称群 ${\mathcal S}_{n}$ 群环中的一个元素）在 $\lambda$-表格上的作用，其中 $\lambda$ 是 $n$ 的一个分拆。对于由 $[n] = \{1, 2, ..., n \}$ 的子集 $I$ 表示的两个字母的词，这引导我们得到 {\em Pascal 下降多项式} $p_{n}(I)$，这是一个特殊的交换多重线性多项式，当 $|I| = 1$ 时它等于一个带符号的二项式系数，并使我们能够获得关于 $n$ 和 $I$ 的一个充分条件，使得 $w$ 属于 ${\mathcal L}_{{\mathbb Z}_{m}}(A)$。我们还对自由李环的孪生词和反孪生词提出了一个特定的猜想，并表明只需对 $|A| = 2$ 的情况进行验证即可。