关于酉群上字映射的傅里叶系数

给定一个字 $w(x_{1},\ldots,x_{r})$（即自由群中 $r$ 个生成元上的元素）与整数 $d\geq1$，我们研究随机矩阵 $w(X_{1},\ldots,X_{r})$ 的特征多项式，其中 $X_{i}$ 为 Haar 随机独立的 $d\times d$ 酉矩阵。若 $c_{m}(X)$ 表示 $X$ 的特征多项式的第 $m$ 个系数，我们的主定理表明存在仅依赖于 $w$ 的正常数 $\epsilon(w)$，使得对一切 $d$ 与一切 $1\leq m\leq d$ 有 $$\left|\mathbb{E}\left(c_{m}\left(w(X_{1},\ldots,X_{r})\right)\right)\right|\leq\left(\begin{array}{c} d\ m \end{array}\right)^{1-\epsilon(w)}.$$ 我们的主要计算工具是 Weingarten 演算，它允许我们将酉群上的积分（如上述期望）表示为对称群上的特定和式。我们利用一种隐藏对称性，在表达 $\mathbb{E}\left(c_{m}(w)\right)$ 的和式中找到相消项。这些相消源于将 Weingarten 函数在陪集上取平均，可由 Schur 正交关系推出。