置换多面体簇、混合欧拉数与 Schubert 多项式的主特殊化

我们计算置换多面体簇的上同调类在 Schubert 类基下的展开。所得结构常数 $a_w$ 表示为由 $w$ 的简约词自然索引的归一化混合欧拉数之和。该描述意味着对所有长度为 $n-1$ 的置换 $w\in S_n$，$a_w$ 均为正，从而回答了 Harada、Horiguchi、Masuda 与 Park 的一个问题。我们利用同一表达式建立了 $a_w$ 在取逆与由最长词共轭下的不变性，并随后建立了这些数的一个有趣的循环求和法则。接着我们通过额外利用与 Postnikov 的除对称化之关系，迈向对 $a_w$ 更深的组合理解。最后，当 $w$ 为船尾形（vexillary）时，我们基于 $a_w$ 与 Schubert 多项式的主特殊化之间的关系，给出 $a_w$ 的组合解释（就某些 tableau 下降而言）。在此过程中，我们证明了关于置换、Schubert 多项式及相关对象的组合学中独立有趣的若干结果并提出了问题。我们还概述了如何将我们的方法推广到其他 Lie 型，特别强调了 Klyachko 的一个恒等式。