酉群上词映射的 Fourier 与小球估计

对于 $r$ 个元素的自由群 $F_r$ 中的非平凡词 $w(x_{1},...,x_{r})$ 和群 $G$，可以关联词映射 $w_{G}:G^{r}\rightarrow G$，它将 $G^{r}$ 中的 $r$ 元组 $(g_{1},...,g_{r})$ 映射到 $w(g_{1},...,g_{r})$。如果 $G$ 是紧致的，我们进一步关联词测度 $\tau_{w,G}$，定义为 $w_{G}(\mathsf{X}_{1},...,\mathsf{X}_{r})$ 的分布，其中 $\mathsf{X}_{1},...,\mathsf{X}_{r}$ 是 $G$ 中独立且 Haar 随机的元素。在本文中，我们研究特殊酉群族 $\left\{ \mathrm{SU}_{n}\right\} _{n\geq2}$ 上的词映射和词测度。我们的第一个结果是 $w_{\mathrm{SU}_{n}}$ 的小球估计。我们证明，对于每个 $w\in F_{r}\smallsetminus\left\{ 1\right\}$，存在 $\epsilon(w),\delta(w)>0$，使得如果 $B\subseteq\mathrm{SU}_{n}$ 是在 Hilbert-Schmidt 度量下半径至多为 $\delta(w)\mathrm{diam}(\mathrm{SU}_{n})$ 的球，则 $\tau_{w,\mathrm{SU}_{n}}(B)\leq(\mu_{\mathrm{SU}_{n}}(B))^{\epsilon(w)}$，其中 $\mu_{\mathrm{SU}_{n}}$ 是 Haar 概率测度。我们的第二个主要结果是关于由 $\tau_{w,\mathrm{SU}_{n}}$ 生成的随机游走。我们给出了 $\tau_{w,\mathrm{SU}_{n}}$ 大 Fourier 系数的指数上界，作为推论，我们证明存在 $t(w)\in\mathbb{N}$，使得对于每个 $t\geq t(w)$ 和每个 $n\geq2$，$\tau_{w,\mathrm{SU}_{n}}^{*t}$ 都具有有界密度，从而回答了前两位作者的一个猜想。作为证明的关键步骤，对于 $\mathrm{SU}_{n}$ 的每个大型不可约特征标 $\rho$，我们建立了形如 $\left|\rho(g)\right|<\rho(1)^{1-\epsilon}$ 的指数上界，其中 $g$ 是 $\mathrm{SU}_{n}$ 中特征值在 $\mathbb{C^\times}$ 中单位圆上充分分散的元素。