GL_N(q) 上的字测度与自由群代数
群论
2024-10-30 v3 组合数学
环与代数
摘要
固定一个阶为 q 的有限域 K 以及自由群 F（有 r 个生成元）中的一个字 w。GL_N(K) 中的一个 w-随机元通过独立均匀随机抽样 r 个元素 g_1,…,g_r∈GL_N(K) 并求 w(g_1,…,g_r) 得到。考虑 E_w[fix]，即一个 w-随机元所固定的 K^N 中向量的平均个数。我们证明 E_w[fix] 是 q^N 的有理函数。此外，若 w=u^d，其中 u 为非幂字，则极限 lim_{N→∞}E_w[fix] 仅依赖于 d 而与 u 无关。这两种现象推广到群 {GL_N(K)}_N 的所有稳定特征标。本工作的一个主要特征是建立了 GL_N(K) 上的字测度与自由群代数 K[F] 之间的联系。Cohn [1964] 与 Lewin [1969] 的一个经典结果是：K[F] 的每个单边理想都是具有良定义秩的自由 K[F]-模。我们证明对于非幂字 w，E_w[fix]=2+C/q^N+O(1/q^{2N})，其中 C 是包含 w-1 但不以其为基元素的秩为 2 的右理想 I≤K[F] 的个数。我们描述了一个推广该结果的完整猜想图景，其特征是称为 w 的 q-本原秩的一个新不变量。在此过程中，我们证明了关于自由群代数的若干新结果。例如，我们证明若 T 是 F 的 Cayley 图的任意有限子树，且 I≤K[F] 是一个生成集支撑于 T 上的右理想，则 I 容许一个支撑于 T 上的基。我们还证明了对于某些 K[F]-模的 Kaplansky 单位猜想的类似结果。
引用
@article{arxiv.2110.11099,
title = {Word Measures on $GL_N(q)$ and Free Group Algebras},
author = {Danielle Ernst-West and Doron Puder and Matan Seidel},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.11099},
year = {2024}
}
备注
39 pages, 2 figures; Journal version, after a minor revision and with updated references