本原词、自由因子与测度保持性

设 F_k 为 k 个生成元的自由群。若词 w ∈ F_k 属于 F_k 的某个基，则称其为本原词。我们研究本原性的两个判据，并更一般地考虑作为自由因子的 F_k 子群。第一个判据是图论的，利用 Stallings 核心图：给定有限秩子群 H ≤ J ≤ F_k，我们给出一个简单程序以判定 H 是否为 J 的自由因子。特别地，这给出了判定 F_k 中给定元素是否为本原词的程序。再设 w ∈ F_k 并考虑词映射 w: G × G × ... × G → G（从 G 的 k 个副本的直积到 G），其中 G 为任意有限群。若在 G × G × ... × G 上赋予均匀测度时，w 在 G 上诱导出均匀测度（对每个有限群 G），则称 w 是测度保持的。这是我们研究的第二个判据：不难看出本原性蕴含测度保持性，且曾有猜想认为这两个性质等价。我们对本原性的组合学处理方法使得我们在此问题上取得进展，特别地，对 k=2 证明了该猜想。曾有人问及 F_k 的本原元素在自由群的投射有限拓扑中是否构成闭集。我们的结果为 F_2 提供了肯定的回答。