关于秩为二的词集

给定自由单子 $A^*$ 在有限字母表 $A$ 上的（有限或无限）子集 $X$， $X$ 的秩是使得 $X \subseteq F^*$ 的集合 $F$ 的最小基数。由 $A^*$ 中 $k$ 个元素生成的子单子 $M$ 若不存在另一个由至多 $k$ 个词生成且包含 $M$ 的子单子，则称为 $k$-极大。我们称集合 $X \subseteq A^*$ 为本原的，如果它是 $|X|$-极大子单子的基。这推广了本原词的概念：事实上， $\{w\}$ 是本原集当且仅当 $w$ 是本原词。根据定义，对任意集合 $X$，存在本原集 $Y$ 使得 $X \subseteq Y^*$。因此集合 $Y$ 称为 $X$ 的本原根。作为主要结果，我们证明若一个集合的秩为 $2$，则它有唯一的本原根。该结果不能推广到秩大于2的集合。对于单个词 $w$，我们说集合 $\{x,y\}$ 是 $w$ 的二元根，如果 $w$ 可写为 $x$ 和 $y$ 的副本的拼接且 $\{x,y\}$ 是本原集。我们证明每个本原词 $w$ 至多有一个二元根 $\{x,y\}$ 满足 $|x|+|y|<\sqrt{|w|}$。即，只要词的长度相对于根的大小足够大，词的二元根就是唯一的。我们的结果也与先前研究伪重复的方法进行比较，其中在 $A^*$ 上定义了形态对合函数 $\theta$。在此设定下，定义了 $\theta$-幂、$\theta$-本原和 $\theta$-根的概念，并证明了任意词有唯一的 $\theta$-本原根。这一结果可通过我们的方法获得，即证明词 $w$ 是 $\theta$-本原的当且仅当 $\{w, \theta(w)\}$ 是本原集。