对称群与李型经典群中的字像稠密

设 $w\in\mathbf F_k$ 为一个非平凡字，并记 $w(G)\subseteq G$ 为相伴字映射 $w\colon G^k\to G$ 的像。令 $G$ 为有限群 ${\rm S}_n,{\rm GL}_n(q),{\rm Sp}_{2m}(q),{\rm GO}_{2m}^\pm(q),{\rm GO}_{2m+1}(q),{\rm GU}_n(q)$（$q$ 为素数幂，$n\geq 2$，$m\geq 1$）之一，或 $\mathbb C$ 上的酉群 ${\rm U}_n$。当 $G$ 为对称群时令 $d_G$ 为归一化汉明距离，当 $G$ 为其他经典群之一时令 $d_G$ 为归一化秩度量，并记 $n(G)$ 为 $G$ 的置换秩或李秩。对于 $\varepsilon>0$，我们证明存在整数 $N(\varepsilon,w)$，使得若 $n(G)\geq N(\varepsilon,w)$，则 $w(G)$ 关于度量 $d_G$ 在 $G$ 中 $\varepsilon$-稠密。这确认了 Shalev 与 Larsen 猜想的度量版本。等价地，我们证明任何非平凡字映射在上述群沿超滤子满足 $n(G)\to\infty$ 的度量超积上是满射。作为我们方法的推论，我们也获得了 Hui-Larsen-Shalev 结果 $w_1({\rm SU}_n)w_2({\rm SU}_n)={\rm SU}_n$（对非空字 $w_1,w_2\in\mathbf F_k$ 且 $n$ 充分大）的另一种证明。