字、置换与有限群的非可解长度

我们研究某些恒等式和概率恒等式对有限群结构的影响。更具体地，设 $w$ 为 $d$ 个不同变量中的非平凡字，且 $G$ 为有限群，其字映射 $w_G:G^d\rightarrow G$ 对某个固定 $\rho>0$ 具有大小至少为 $\rho|G|^d$ 的纤维。我们证明，对特定字 $w$，这蕴含 $G$ 具有指标以上界（依 $w$ 和 $\rho$ 而定）为界的正常可解子群。我们还证明，对更大一类字 $w$，这蕴含 $G$ 的非可解长度以上界（依 $w$ 和 $\rho$ 而定）为界，从而为正支持 Larsen 的一个猜想提供证据。在此过程中我们获得了一些具有独立意义的结论，大致表明大有限置换群中多数元素具有大支撑。