置换与交错符号矩阵的 Waldspurger 变换

2005年，J.L. Waldspurger 证明了如下定理：给定一个有限实反射群 $W$，闭正根锥由开权锥在线性变换 $id-w$ 作用下的像铺砌而成。此后不久，E. Meinrencken 将结果推广到仿射 Weyl 群。随后 P.V. Bibikov 与 V.S. Zhgoon 针对作用于单连通常曲率空间上的离散反射群给出了统一证明。本文中我们表明，A 型的 Waldspurger 与 Meinrenken 定理为对称群的组合学提供了新视角。具体而言，对每张置换矩阵 $w \in \mathfrak{S}_n$，我们定义一个非负整数矩阵 $\mathbf{WT}(w)$，称为 $w$ 的 Waldspurger 变换。矩阵 $\mathbf{WT}(w)$ 的定义是纯组合式的，但其列是基本权在 $id-w$ 作用下的像，以单根坐标表示。$\mathbf{WT}(w)$ 的可能列（我们称之为 UM 向量）与许多有趣的结构一一对应，包括：单峰 Motzkin 路径、李代数 $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 幂零根中的交换理想、最大钩长为 $n$ 的杨图，以及某个多胞体内部的整数点。我们证明 $\mathbf{WT}(w)$ 各元素之和等于对应置换 $w$ 的熵的一半，而该熵已知等于 $w$ 在 Bruhat 序的 Dedekind-MacNeille 完备中的秩。受此启发，我们将 Waldpurger 变换 $\mathbf{WT}(M)$ 推广到交错符号矩阵 $M$，并给出该像的内在刻画。这为 Bruhat 序的 Dedekind-MacNeille 完备（即交错符号矩阵格）提供了几何实现。