Foulkes 模与对称群的分解数

素特征标 $p$ 下有限群的分解矩阵记录了其 $p$-模不可约表示作为其特征标零不可约表示模 $p$ 约化的合成因子的重数。本文的主要定理给出了奇素特征标下对称群分解矩阵中某些列的组合描述。该结果适用于任意高权重的块。它是通过研究由偶数度 $2m$ 对称群在将大小为 $2m$ 的集合划分为 $m$ 个大小为 2 的集合的集合划分集上的作用所给出的置换模的某些扭曲的 $p$-局部结构而获得的。特别是，所有此类模的不可约直和项的顶点得到了刻画；这些直和项构成了一类新的对称群不可约 $p$-置换模族。作为一个进一步的推论，证明了对于每个自然数 $w$，在权重为 $w$ 的对称群块中存在一个等于 $w+1$ 的对角 Cartan 数。