关于紧李群上随机字的分布

设 $G$ 为紧李群。假设 $g_1, \dots, g_k$ 独立选自 $G$ 上的 Haar 测度。令 $\mathcal{A} = \cup_{i \in [k]} \mathcal{A}_i$，其中 $\mathcal{A}_i := \{g_i\} \cup \{g_i^{-1}\}$。令 $\mu_{\mathcal{A}}^\ell$ 为所有长度为 $\ell$ 且字母表属于 $\mathcal{A}$ 的字的均匀测度。我们给出了 $\mu_{\mathcal{A}}^\ell$ 的热核光滑化在 $\mathcal{L}^2(G)$ 中逼近 $G$ 上常值函数的邻近性的概率界。我们也给出了 $G$ 中一点到 $\mu_{\mathcal{A}}^\ell$ 支撑的最大距离的概率界。最后，我们通过分析 $G$ 为 $n$ 维环面的情况表明这些界一般不能显著改进。当 $G$ 为 $SU_2$ 时，与 $\mathcal{A}$ 相关的自然 Markov 算子的谱隙问题由 Bourgain 和 Gamburd 重申，最初由 Lubotzky、Philips 和 Sarnak 于 1987 年提出，至今仍未解决。在 $SU_2$ 的情形下，我们的结果可视为处理了该问题一个弱变体的定量版本。