均匀局部紧致群中的度量翻倍及商空间

我们考虑一个（可能是离散的）均匀局部紧致群$G$，其Haar测度为$\mu_G$，以及一个正测度的紧子集$A\subseteq G$，满足$\mu_G(A^2)\leq K\mu_G(A)$。设$H$为$G$的闭正规子群，$\pi: G \rightarrow G/H$为商映射。在进一步假设$A= A^{-1}$的条件下，我们证明了$$\mu_{G/H}(\pi A ^2) \leq K^2 \mu_{G/H}(\pi A).$$ 我们还展示了$K^2$不能被替换为$(1-\epsilon)K^2$，其中$\epsilon>0$。在一般情况下（无需$A=A^{-1}$），我们证明$\mu_{G/H}(\pi A ^2) \leq K^3 \mu_{G/H}(\pi A)$，改进了An、Jing、Zhang以及第三作者之前的結果。此外，我们能够提取一个紧子集$B\subseteq A$，使得$\mu_G(B)> \mu_G(A)/2$，满足$\mu_{G/H}(\pi B^2) < 2K \mu_{G/H}(\pi B)$。