连通单模群中的极小与近极小测度扩张

设 $G$ 为连通单模群，配备（左且因而右）Haar 测度 $\mu_G$，并设 $A, B \subseteq G$ 为非空紧集。Kemperman 的一个不等式给出 $\mu_G(AB)\geq\min\{\mu_G(A)+\mu_G(B),\mu_G(G)\}$。我们的第一个结果确定了等号成立的条件，完整回答了 Kemperman 于 1964 年提出的一个问题。我们的第二个结果刻画了紧且连通的 $G$、$A$ 和 $B$ 在近等号情形下的特征，其定量界具有尖锐指数。这在该设定下可视为一个（至多差常数因子的）$(3k-4)$-定理，并证实了 Griesmer 与 Tao 猜想的连通情形。作为一个应用，我们得到了连通紧单 Lie 群的测度扩张间隙结果。我们证明中发展的工具包括对极小与近极小扩张集合对形状的分析、由此到某伪度量性质的桥梁，以及从该伪度量构造到 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的适当连续群同态。