同态格与 pro-Lie 群

本世纪初，K. H. Hofmann 与 S. A. Morris 引入了 pro-Lie 群类，该类由有限维李群的投影极限组成，并证明它包含所有紧群、所有局部紧阿贝尔群以及所有连通局部紧群，且在乘积和闭子群构造下封闭。他们定义拓扑群 $G$ 为几乎连通的，如果 $G$ 对其单位元连通分支的商群是紧的。我们在此证明所有几乎连通的 pro-Lie 群及其连续同态像都是 $R$-因子可分解的与 $\omega$-胞腔的，即每个 $G_\delta$-集族都包含一个可数子族，其并集在整个族并集的闭包中稠密。我们还证明了一个一般结果，它作为一个特例蕴含：若拓扑群 $G$ 包含一个紧不变子群 $K$ 使得商群 $G/K$ 是几乎连通的 pro-Lie 群，则 $G$ 是 $R$-因子可分解的与 $\omega$-胞腔的。应用上述结果，我们证明了在几乎连通的 pro-Lie 群 $H$ 中，任意 $G_{\delta,\Sigma}$-集的顺序闭包与其闭包重合。