关于 Kneser 不等式的一个逆定理

设 $G = (G,+)$ 为紧连通阿贝尔群，并令 $\mu_G$ 表示其概率 Haar 测度。Kneser 的一个定理（推广了 Macbeath 和 Raikov 的先前结果）建立了如下界：$$\mu_G(A + B) \geq \min( \mu_G(A)+\mu_G(B), 1 )$$ 每当 $A,B$ 是 $G$ 的紧子集，且 $A+B := \{ a+b: a \in A, b \in B \}$ 表示 $A$ 与 $B$ 的和集。显然当 $\mu_G(A)+\mu_G(B) \geq 1$ 时取等号。获得等号的另一种方式是当对某个连续满同态 $\phi: G \to {\bf R}/{\bf Z}$ 和紧弧 $I,J \subset {\bf R}/{\bf Z}$ 有 $A = \phi^{-1}(I), B = \phi^{-1}(J)$。我们建立了一个逆定理，粗略地说，它断言当上述界中的等号几乎达到时，$A,B$ 接近于上述例子之一。我们还给出了该定理一个更“稳健”的形式，其中和集 $A+B$ 被部分和集 $A +_\varepsilon B :=\{ 1_A * 1_B \geq \varepsilon \}$ 所替代，其中某个小的 $\varepsilon >0$。在随后与 Joni Ter"av"ainen 合著的论文中，我们将应用这后一个逆定理来证明乘性函数中的某些模式以正密度出现。