广义摩芒类型群与 $\mathbb{Z}_2$ 分配代数

称配对 $(G,T)$ 为忠实的奇转位群，如果 $T$ 是生成群 $G$ 的正规幂性集合，且 $T$ 中任意两个不同元素的乘积均为奇数阶。我们引入此类群的一个特殊子类，即广义摩芒 $p$ 类型群（或 $GM(p)$ 类型），其中 $T$ 中任意两个不同幂性元素的乘积均为固定素数阶 $p$。对于任意这样的群 $(G,T)$ 以及域 $\mathbb{F}$ 中的标量参数 $\eta$，我们构造代数 $A = A_{\mathbb{F}}(G,T,\eta)$。我们证明，$A$ 中每个元素 $T$ 所对应的元素都是原始半单幂等元，从而定义了 $A$ 的 $\mathbb{Z}_{2}$ 分配。$A$ 相对于 $T$ 的米森莫戈尔群同构于 $G/Z(G)$。代数 $A$ 不含非平凡右理想，且在特定参数 $\eta$ 下， admits 一种对称左 Frobenius 型。当 $G$ 为奇素数周期 $p$ 的自由巴恩斯利群加上反演同构时，$G$ 的有限性等价于 $A_{\mathbb{F}}(G,T,\eta)$ 的有限维性，提供了巴恩斯利问题的一个重新表述。对于 $p=5$ 且 $\eta=-1/3$，由 $T$ 中两个幂等元生成的代数为左轴代数，满足怪兽型融合律 $\mathcal{M}(4/3, -4/3)$。对于素数 $p>5$，两生成代数同样为轴代数，但遵循更一般的融合律。虽然代数 $A_{\mathbb{F}}(G,T,\eta)$ 初始定义时使用的是 $GM(p)$ 类型群，但我们证明它 admits 一种内在的、无群的特征描述，通过对所谓 $GM(p,\eta)$ 类型代数的公理化。我们证明，此类中的每个代数同构于上述构造得到的代数，确立了两种定义的等价性。