矩阵值正交多项式的显式构造：任意规模情况

本文显式给出与大小为 $N$ 的权矩阵相关的正交多项式序列表达式。该权矩阵由标量权函数 $w_{1}, \ldots, w_{N}$ 构成：$$W(x) = T(x)\operatorname{diag}(w_{1}(x), \ldots, w_{N}(x))T(x)^{\ast},$$其中 $T(x)$ 为特定的多项式矩阵。我们给出标量权函数的充分条件，确保权矩阵 $W$ 为不可约。此外，我们给出标量权函数的充分条件，确保构造的矩阵正交多项式序列是微分算子的特征函数。我们还研究了在标量权函数为雅可比、希尔伯特和拉盖尔经典权函数时，正交多项式的Darboix变换与双谱性。通过这些结果，我们构建了满足二阶微分方程的任意规模的多种双谱矩阵值正交多项式。