Humbert 函数 $\Phi_1$ 的渐近展开及其应用

本文系统性地研究了Humbert的双变量准幂级数函数 $\Phi_1[a,b;c;x, y]$ 的渐近行为。具体而言，我们在五个不同 regime 下建立了明确的渐近展开：(i) $x\to\infty$; (ii) $y\to\infty$; (iii) $x\to\infty,\,y\to\infty$; (iv) $x$ 或 $y$ 小，$xy$ 固定; (v) $x\to 1$, $y$ 固定。通过具体应用阐明这些展开的实用性，包括Saran的超几何函数 $F_M$ 的理论、Glauber-Ising 模型以及普拉巴拉类型分数积分算子的理论。还概述了若干潜在的未来研究方向。